1. Was ist Trigonometrie?
Trigonometrie bedeutet sinngemäß „Dreiecke messen“. Sie beschreibt die Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen.
Winkel
Ein Winkel beschreibt, wie weit eine Linie gegenüber einer Bezugsrichtung gedreht ist.
Seitenverhältnisse
Sinus, Kosinus und Tangens setzen jeweils zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ins Verhältnis.
Technischer Nutzen
Mit einem Winkel und einer bekannten Länge lassen sich weitere Längen oder Kraftkomponenten bestimmen.
Wortherkunft: trigonon (griechisch: Dreieck) + metron (Maß). Die Mathematik hat also einen sehr treffenden Namen bekommen.
2. Das rechtwinklige Dreieck – die Seiten erkennen
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90°-Winkel. Die längste Seite liegt ihm gegenüber: die Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
Liegt gegenüber von α.
Liegt an α an, ist aber nicht die Hypotenuse.
Liegt gegenüber dem rechten Winkel und bleibt immer die längste Seite.
3. Sinus, Kosinus und Tangens
Die drei Funktionen sind drei verschiedene Seitenverhältnisse. Die Seitenbezeichnungen beziehen sich auf den Winkel α.
Gegenkathete zu Hypotenuse
Der Sinus beschreibt, welcher Anteil der Hypotenuse in Richtung der Gegenkathete liegt.
Ankathete zu Hypotenuse
Der Kosinus beschreibt, welcher Anteil der Hypotenuse in Richtung der Ankathete liegt.
Gegenkathete zu Ankathete
Der Tangens beschreibt das Verhältnis der beiden Katheten – praktisch für Steigungen.
Verändere den Winkel und beobachte die Verhältnisse
Beispiel: das 3–4–5-Dreieck
Gegenkathete = 3 cm, Ankathete = 4 cm, Hypotenuse = 5 cm.
| Funktion | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| sin(α) | 3 / 5 | 0,6 |
| cos(α) | 4 / 5 | 0,8 |
| tan(α) | 3 / 4 | 0,75 |
4. Seitenlängen und Winkel berechnen
Je nachdem, was gesucht ist, verwendest du die normale Winkelfunktion oder ihre Umkehrfunktion.
Seite berechnen
Beispiel: α = 30°, Hypotenuse = 10 cm.
Der Winkel liefert das Verhältnis; die bekannte Hypotenuse liefert die tatsächliche Größe.
Winkel berechnen
Beispiel: Gegenkathete = 3 cm, Hypotenuse = 5 cm.
Die Umkehrfunktion macht aus einem Seitenverhältnis wieder einen Winkel.
Interaktiver Dreiecksrechner
Wähle einen Rechenfall. Die Eingaben sind in Zentimetern und Grad.
5. Der Einheitskreis – Sinus und Kosinus als Koordinaten
Ein Einheitskreis hat den Radius 1. Ein Punkt auf dem Kreis besitzt die Koordinaten (cos α, sin α). Der Kosinus ist die x-Koordinate, der Sinus die y-Koordinate.
Tangens ist nicht definiert, wenn x = cos(α) = 0, zum Beispiel bei 90° und 270°.
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,866 | 0,577 |
| 45° | 0,707 | 0,707 | 1 |
| 60° | 0,866 | 0,5 | 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | nicht definiert |
6. Pythagoras, Sinussatz und Kosinussatz
Satz des Pythagoras
Gilt im rechtwinkligen Dreieck. c ist die Hypotenuse.
Trigonometrischer Pythagoras
Gilt für jeden Winkel und folgt aus dem Einheitskreis.
Sinussatz
Jede Seite wird ihrem gegenüberliegenden Winkel zugeordnet. Für allgemeine Dreiecke.
Kosinussatz
Zum Beispiel, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Bei γ = 90° entsteht Pythagoras.
Demo 1: Satz des Pythagoras – Flächen sichtbar machen
Verändere die beiden Katheten. Die Hypotenuse und die drei Quadratflächen werden automatisch berechnet.
Demo 2: Sinussatz – gegenüberliegende Seiten und Winkel
Verändere α und β. Der dritte Winkel γ passt sich so an, dass die Winkelsumme 180° bleibt.
Demo 3: Kosinussatz – wie der Winkel die dritte Seite verändert
Die Seiten a und b bleiben fest. Verändere den eingeschlossenen Winkel γ und beobachte die Gegenseite c.
Interaktiver Kosinussatz-Rechner
7. Anwendung in der Technischen Mechanik – Kräfte zerlegen
Eine schräge Kraft kann in eine waagerechte und eine senkrechte Komponente zerlegt werden. Wird α von der positiven horizontalen x-Achse gemessen, gilt:
Schiefe Ebene
Bei einer schiefen Ebene wird die Gewichtskraft in eine Komponente parallel und eine senkrecht zur Ebene zerlegt:
Diese Zuordnung gilt bei α als Neigungswinkel der Ebene zur Horizontalen. Reibung und weitere Kräfte sind in dieser vereinfachten Betrachtung noch nicht berücksichtigt.
Resultierende aus zwei senkrechten Kräften
8. Wo begegnet uns Trigonometrie?
Maschinenbau & Konstruktion
Schrägstreben, Bauteilwinkel, Werkzeugstellungen, Schrägflächen und Kraftwirkungen.
Bauwesen
Dachneigungen, Treppen, Rampen, Dachstühle und statische Kräfte.
Vermessung
Entfernungen und Höhen aus gemessenen Winkeln und bekannten Strecken bestimmen.
Elektrotechnik
Wechselgrößen, sinusförmige Signale und Phasenverschiebungen beschreiben.
Robotik
Gelenkwinkel, Positionen, Bewegungsbahnen und Greiferstellungen berechnen.
Hebe- und Fördertechnik
Auslegerreichweiten, Höhen, Neigungen und Kraftkomponenten ermitteln.
Begriffe und Zeichen
| Zeichen | Name / Aussprache | Typische Verwendung |
|---|---|---|
| α | Alpha (al-fa) | Winkel |
| β | Beta (be-ta) | Winkel |
| γ | Gamma (gam-ma) | Winkel |
| φ | Phi (fi) | Winkel |
| θ | Theta (te-ta) | Winkel |
| Fₓ, Fᵧ | Kraftkomponenten | Horizontale / vertikale Anteile |
| Fᵣ | Resultierende Kraft | Zusammengefasste Kraftwirkung |
9. Wissenscheck
Prüfe, ob die Grundlagen sitzen. Wähle jeweils eine Antwort und kontrolliere anschließend.